中心極限定理는 주어진 條件에 따라서 여러 가지가 있다.

가장 많이 쓰이는 中心極限定理는 린데베르그?레비 中心極限定理 ( 英語 : Lindeberg?Levy central limit theorem )이며, 같은 分布를 가지는 獨立 確率 變數에 對해 다룬다. 이 整理는 다음과 같다. 萬若 確率 變數 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots }$  들이

1. 서로 獨立的이고,
2. 같은 確率 分布를 가지고,
3. 그 確率 分布의 期待값 μ 와 標準偏差 σ 가 有限하다면,

平均 ${\displaystyle S_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$  의 分布는 期待값 μ, 標準偏差 ${\displaystyle \sigma /{\sqrt {n}}}$  人 正規分布 N( μ,σ ² / n )에 分布收斂 한다. 卽,

${\displaystyle {\sqrt {n}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\bigg )}-\mu {\bigg )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,\;\sigma ^{2})}$ 

가 成立한다.

알렉산드르 랴푸노프 가 證明한 랴푸노프 中心極限定理 ( 英語 : Lyapunov central limit theorem )는 基本 定理에서 같은 分布를 가지는 條件을 다음과 같이 緩和하였다. 萬若 各 確率變數 ${\displaystyle X_{i}}$  가

1. 서로 獨立的이고,
2. 各各 有限한 平均과 分散 ${\displaystyle \mu _{i},\sigma _{i}^{2}}$  를 가지며,
3. ( 랴푸노프 條件 ) ${\displaystyle s_{i}^{2}=\sum _{j\leq i}\sigma _{j}^{2}}$  를 定義하면 어떤 陽의 失手 ${\displaystyle \delta }$  에 對하여
   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2+\delta }}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} {\big [}\,|X_{i}-\mu _{i}|^{2+\delta }\,{\big ]}=0}$ 
   가 成立할 때,

${\displaystyle \sum _{i}(X_{i}-\mu _{i})/s_{i}}$  의 分布는 n이 커질수록 標準正規分布 에 分布收斂 한다.

${\displaystyle {\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i}){\xrightarrow {\mathrm {d} }}{\mathcal {N}}(0,1)}$ 

린데베르그 中心極限定理 ( 英語 : Lindeberg central limit theorem )는 랴푸노프 中心極限定理의 條件을 조금 더 緩和한 것이다. 이 境遇, 萬若 各 確率變數 ${\displaystyle X_{i}}$  가

1. 서로 獨立的이고,
2. 各各 有限한 平均과 分散 ${\displaystyle \mu _{i},\sigma _{i}^{2}}$  를 가지며,
3. ( 린데베르그 條件 ) 다음 公式이 成立할 때,
   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu _{i})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}{\big ]}=0}$ 

랴푸노프 中心極限定理와 같은 結論을 내릴 수 있다. 여기에서 ${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\cdots \}}}$  는 指示 函數 이다.

마팅게일 의 境遇, 各 ${\displaystyle X_{i}}$  들이 獨立 變數가 아니므로 위 整理들은 成立하지 않는다. 다만, 이 境遇에도 다음과 같은 마팅게일 中心極限定理 ( 英語 : martingale central limit theorem )가 成立한다. 萬若 各 確率變數 ${\displaystyle X_{i}}$  가

1. 마팅게일 을 이루며,
2. ${\displaystyle n\to \infty }$  人 極限에서 다음이 成立하고,
   ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} ((X_{i}-X_{i-1})^{2}|X_{1},\dots ,X_{i-1})\to 1}$ 
3. 모든 ${\displaystyle \epsilon >0}$  에 對하여 ${\displaystyle n\to \infty }$  人 極限에서 다음이 成立할 境遇,
   ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left((X_{i}-X_{i-1})^{2};|X_{i}-X_{i-1}|>\varepsilon {\sqrt {n}}\right)\to 0}$ 

${\displaystyle X_{n}/{\sqrt {n}}}$  은 ${\displaystyle n\to \infty }$  人 極限에서 標準正規分布 로 分布收斂 한다.

${\displaystyle X_{n}/{\sqrt {n}}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}{\mathcal {N}}(0,1)}$ 

여기서 ${\displaystyle \operatorname {E} (A|B)}$  는 條件附 期待값, ${\displaystyle \operatorname {E} (A;B)}$  는 制限 期待값( 英語 : restricted expectation )이다.

事件이 일어날 確率을 ${\displaystyle p}$  , 일어나지 않을 確率을 ${\displaystyle q}$  라 할 때, ${\displaystyle N}$  番의 施行中에서 事件이 ${\displaystyle n}$  番 일어날 確率은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {P} (n)={N \choose n}{p^{n}}{q^{(N-n)}}}$ 

이 確率分布가 結局 ${\displaystyle N}$  이 相當히 커지면, 이 確率分布는 거의 連續的이라고 볼 수 있다.

連續的인 分布에서의 ${\displaystyle \scriptstyle {n}={\bar {n}}}$  에서 連續的인 確率密度函數가 極大값을 가지게 된다면, 다음의 式을 滿足하게 된다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial \operatorname {P} }{\partial n}}\right)_{{n}={\bar {n}}}=0}$ 

로그 函數 는 單調增加 函數이므로, 다음의 食道 滿足하게 된다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial \ln {\operatorname {P} }}{\partial n}}\right)_{{n}={\bar {n}}}=0}$ 

充分히 작은 ${\displaystyle {\eta }}$  에 對하여 ${\displaystyle \scriptstyle {n}\equiv {\bar {n}}+{\eta }}$  라 定義하고 ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {n}}}$  近處에서 ${\displaystyle {\eta }}$  에 對하여 테일러 展開하면 다음과 같다.

${\displaystyle \ln {\operatorname {P} (n)}=\ln {\operatorname {P} ({\bar {n}})}+{B_{1}}{\eta }+{\frac {1}{2}}{B_{2}}{\eta }^{2}+{\frac {1}{6}}{B_{3}}{\eta }^{3}+\dots }$ 

여기서 이미 ${\displaystyle \scriptstyle {B_{1}}=\left({\frac {\partial \ln {\operatorname {P} }}{\partial n}}\right)_{{n}={\bar {n}}}}$  이므로, 0이 된다는 걸 알 수 있다. 또한 ${\displaystyle {\eta }}$  가 充分히 작으므로, 다음과 같이 ${\displaystyle {\eta }}$  에 對한 2次式으로 近似할 수 있다.

${\displaystyle \ln {\operatorname {P} (n)}\approx \ln {\operatorname {P} ({\bar {n}})}+{\frac {1}{2}}{B_{2}}{\eta }^{2}}$ 

兩邊에 로그를 풀어서 元來 模樣으로 만들어주면 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {P} (n)=\operatorname {P} ({\bar {n}})e^{{\frac {1}{2}}{B_{2}}{(n-{\bar {n}})}^{2}}}$ 

여기서, ${\displaystyle \scriptstyle \left({\frac {\partial \ln {\operatorname {P} }}{\partial n}}\right)_{{n}={\bar {n}}}=0}$  이므로 이것을 바탕으로 스털링 近似 를 利用하여 ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {n}}}$  을 求해보면,

${\displaystyle {\frac {\partial \ln {\operatorname {P} }}{\partial n}}=-\ln {n}+\ln {(N-n)}+\ln {p}-\ln {q}}$ 

${\displaystyle {\frac {(N-{\bar {n}})}{\bar {n}}}{\frac {p}{q}}=1}$ 

${\displaystyle \therefore {\bar {n}}=Np=m}$ 

${\displaystyle {\bar {n}}}$  은 平均이 됨을 알 수 있다.

이제 ${\displaystyle {B}_{2}}$  를 求해보면, 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ln {\operatorname {P} }}{\partial ^{2}n}}=-{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{N-n}}}$ 

${\displaystyle {B}_{2}=-{\frac {1}{Np}}-{\frac {1}{Nq}}=-{\frac {p+q}{Npq}}=-{\frac {1}{Npq}}=-{\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$ 

그렇다면 確率密度函數 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {P} (n)={A}{e^{-{\frac {(n-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}}$ 

이 確率密度 函數를 標準化시키면 最終的인 確率密度 函數를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {P} (n)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}{e^{-{\frac {(n-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}}$ 

따라서 ${\displaystyle {\mathrm {B} (N,p)}}$  는 ${\displaystyle N}$  이 充分히 커질 때(普通 Np>5, Nq>5日 때), ${\displaystyle {\mathrm {Z} (Np,Npq)}}$  로 近似할 수 있다.

• 벤포드의 法則
• 正規 分布

• Bauer, Heinz (2001). 《Measure and integration theory》 (英語). Berlin: De Gruyter. ISBN  3110167190 .  
• Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and measure》 (英語) Thi版. John Wiley & sons. ISBN  0-471-00710-2 .  
• Durrett, Richard (2004). 《Probability: theory and examples》 (英語) 4板. Cambridge University Press. ISBN  0521765390 .  
• Bradley, Richard (2007). 《Introduction to strong mixing conditions》 (英語). Heber City, Utah, U.S.: Kendrick Press. ISBN  0-9740427-9-X .  
• Bradley, Richard (2005). “Basic properties of strong mixing conditions. A survey and some open questions”. 《Probability Surveys》 (英語) 2 : 107?144. arXiv : math/0511078v1 . doi : 10.1214/154957805100000104 .  

• Prokhorov, Yu.V. (2001). “Central limit theorem” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. ISBN  978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Central limit theorem” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• 中心極限定理의 애니메이션
• 자바로 具現한 中心極限定理
• Central Limit Theorem 다양한 變數를 주어 인터렉티브 實驗하는 中心極限定理