처음 200個의 少數는 다음과 같다. ( OEIS 의 水熱 A000040 )

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 , 211 , 223 , 227 , 229 , 233 , 239 , 241 , 251 , 257 , 263 , 269 , 271 , 277 , 281 , 283 , 293 , 307 , 311 , 313 , 317 , 331 , 337 , 347 , 349 , 353 , 359 , 367 , 373 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 409 , 419 , 421 , 431 , 433 , 439 , 443 , 449 , 457 , 461 , 463 , 467 , 479 , 487 , 491 , 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223

여기서, 2는 唯一한 짝數 少數이며, 2와 5를 除外한 모든 少數의 一의 자리 數는 1, 3, 7, 9 中 하나이다. 10 以下의 少數는 4個이고, 100 以下의 少數는 25個, 1000 以下의 少數는 168個이며, 10000 以下의 少數는 1229改任이 밝혀져 있다.

整數論의 基本 整理 에 依해, 모든 自然數 는 꼭 한가지 方法으로 少數의 곱 으로 表現할 수 있고 이를 素因數 分解 의 一意性 이라고 한다. 卽, 곱셈의 觀點에서 少數는 自然數를 이루는 成分이다.

例를 들면,

${\displaystyle 23244=2^{2}\times 3\times 13\times 149}$ 

이고 23244는 (藥水의 順序를 無視하면) 單 한 가지 方法으로 素因數 分解 된다. 이 整理의 重要性은 少數들의 集合에서 1을 除外하는 理由 中의 하나이다. 萬一 1이 少數라면 이 整理의 嚴密한 陳述을 위해 追加的인 制限條件을 必要로 하기 때문이다.

少數는 無限 하다. 이 命題를 유클리드의 整理 라고 하며 가장 오래된 證明은 그리스 數學者 유클리드 의 《 유클리드 原論 》(第9卷, 整理 20)에서 볼 수 있다. 유클리드의 證明은 “어느 주어진 有限 한 少數들 보다 더 많다.”라는 結論으로 表現되고, 그의 證明은 本來 아래와 같다.

有限 個의 少數가 存在한다고 假定하자. 이 有限 個의 少數들을 모두 곱한 값에 1을 더한다. ( 유클리드 수 參照) 그 結果값은 다른 어떤 少數로 나누어도 나머지가 1이므로 어떤 少數로도 나누어떨어지지 않는 수가 된다. 따라서 이 數가 少數라면 旣存의 最大少數보다 큰 少數가 있다는 것이 證明되고, 이 數가 少數가 아니라고 해도 또다른 少數가 있어야 한다는 것을 의미하기 때문에 少數가 有限하다는 애初 家庭에 矛盾이 存在함을 알 수 있다.

다른 數學者들도 各自의 證明을 내놓았다. 그 中 오일러 에 依한 證明은 모든 少數들의 逆數의 合이 發散한다는 證明으로부터 小數의 個數가 無限함을 보였다.

少數에 對한 最初의 記錄은 古代 이집트 파피루스에서 찾을 수 있다. 파피루스에는 少數와 合成數를 區分해서 다른 形態로 表記되어 있었다. 그러나 少數에 對한 本格的인 硏究는 古代 그리스 에서 本格的으로 始作되었다. 《 유클리드 原論 》(紀元前 300年頃)에는 少數가 無限히 많다는 內容과 整數論의 基本 整理 가 包含되어 있다. 유클리드는 메르센 少數 로부터 完全數 를 만드는 方法도 說明하였다.

유클리드 以後 17世紀까지 少數에 對한 硏究는 別로 없었다. 그러나 페르마 는 1640年에 페르마 小定理 를 證明없이 發表하였다.

現在까지 알려진 가장 簡單한 方法으로 에라토스테네스의 體 가 있다. 方法은 다음과 같다.

1. 찾고자 하는 範圍의 自然水를 羅列한다.
2. 1은 지운다.
3. 2부터 始作하여, 2의 倍數를 지워나간다.
4. 다음 少數의 倍數를 모두 지운다.

이를 反復하여 마지막까지 지우면, 남는 數들이 小數가 된다. 이 過程은 事實 어떤 自然數 ${\displaystyle n}$  이 少數임을 判定하기 爲해서 ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$  까지만 進行하면 되는데 ^[1] , 수가 數를 나누기 위해서는 그 몫이 恒常 必要하며 나누는 數와 몫 中 어느 하나는 반드시 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$  以下이기 때문이다. 아래 票로 이 方法을 活用하면 다음과 같이 된다.(4, 6, 8, 10은 除外(無條件 合成數期에 ^[2] ))

少數를 골라내기 爲한 方法은 다음과 같다. 이 方法을 利用해 少數를 어느 程度 골라낼 수 있다.

1. 2와 5를 除外하면, 모든 少數의 一의 자리 數는 1, 3, 7, 9이다.
2. 어떤 自然數 ${\displaystyle n}$  이 少數임을 判定하기 爲해선 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$  까지의 數 中 1을 除外하고 그 自然數의 藥水가 있는지 確認하면 된다.
3. 排水 의 性質을 利用하면 쉽게 求할 수도 있다.

그 外에도 다양하고 複雜한 判定法이 存在하지만, 위의 세 가지는 當然하고 簡單한 것들이다.

모든 少數를 分類해서 該當 集合에 넣는 것은 아니지만, 一般的으로 알려진 특수한 少數에는 다음이 있다.

• 메르센 少數
• 雙둥이 少數
• 四寸 少數
• 섹시 少數
• 소피 제르맹 少數
• 페르마 少數
• 가우스 少數

少數와 關聯된 많은 未解決 問題들이 있다. 代表的인 것들은 아래와 같다.

• 리만 假說
• 골드바흐의 推測
• 雙둥이 少數의 推測
• 메르센 少數 의 無限性
• 홀數 完全數 의 存在性

오래前부터 數學者들은 自然數 或은 정수의 테두리 안에서만 少數 槪念이 適用될 必要는 없다고 생각했다. 이것의 直接的 理由는, 多項式 에 關한 理論이 體系化되면서 ' 旣約多項式 ' 等 少數와 類似한 槪念을 分析에 導入할 必要가 생겼기 때문이었다. 또한 類似한 時期에 抽象代數學 에 對해 기초적인 發展이 이루어지면서, 어떤 演算 이 定義된 臺數 救助 에 對한 一般的 觀點에서 少數 槪念을 다룰 必要性 亦是 생겨나기 始作했다.

少數의 槪念을 分析해 나가던 途中, 數學者들은 以前에 自然數 範圍에서만 使用되던 少數의 두 가지 正義가 좀 더 一般的인 境遇에는 서로 童穉條件이 아니게 된다는 事實을 發見하였다. 예컨대 自然數 範圍 內에서 少數는,

• ${\displaystyle p}$  가 少數일 必要充分條件은, ${\displaystyle p}$  가 ${\displaystyle 1}$  이 아니면서 ${\displaystyle p|m}$  이고 ${\displaystyle m=ab}$  를 滿足하는 任意의 自然數 ${\displaystyle a}$  , ${\displaystyle b}$  에 對해 , ${\displaystyle p|a}$  이거나 ${\displaystyle p|b}$  인 것이다.
• ${\displaystyle p}$  가 少數일 必要充分條件은, ${\displaystyle p}$  가 ${\displaystyle 1}$  이 아니면서 量의정수 ${\displaystyle a}$  , ${\displaystyle b}$  에 對해 ${\displaystyle p=ab}$  裏面 ${\displaystyle a}$  나 ${\displaystyle b}$  둘 中에 오직 하나만이 1인 것이다.

와 같이 두 가지 方式으로 定義될 수 있다. 이 定義를 精髓 範圍로 擴張시키기 위해서는 먼저 ${\displaystyle 0}$  을 除外하고, 單純히 定義에 들어 있는 ${\displaystyle 1}$  을 ${\displaystyle +1,-1}$  모두 包含하는 것으로 생각하면 된다. 이는 바로 整數環 床에서 各各 덧셈에 對한 恒等元 과 團員 의 條件이다.(이 一般化를 直觀的으로 좀 더 明確하게 받아들이기 위해서는, 가우스 精髓 에 對한 境遇를 생각하면 된다. 이 때는 單位 純虛數들까지 單元의 領域에 包含된다)

少數와 基藥水 編輯

少數 槪念은 이러한 이러한 一般化에 힘입어 一般的인 程驛 , 좀 더 나아가 1을 가진 可換 圜 까지 그 背景 集合이 擴張될 수 있다. 그런데 이렇게 一般化하고 보면, 위에서 言及했던 바와 같이 위의 두 童穉條件이 더以上 童穉가 아니게 된다. 그러므로 電子를 少數 , 後者를 基藥水 로 定義하고(혹은 所願, 期約원이라고도 한다) 一般化된 定義를 敍述하면 다음과 같다.(이하에서 ${\displaystyle 0}$  이란 주어진 換衣 덧셈 演算에 該當하는 恒等元이라는 意味이다)

• ${\displaystyle p}$  가 少數일 必要充分條件은, ${\displaystyle p}$  가 ${\displaystyle 0}$  이나 團員이 아니면서 ${\displaystyle p|ab}$  裏面 ${\displaystyle p|a}$  이거나 ${\displaystyle p|b}$  인 것이다.
• ${\displaystyle p}$  가 期約數日 必要充分條件은, ${\displaystyle p}$  가 ${\displaystyle 0}$  이나 團員이 아니면서 ${\displaystyle p=ab}$  裏面 ${\displaystyle a}$  나 ${\displaystyle b}$  의 둘 中 하나는 반드시 團員인 것이다.

이와 같은 正義는, 從來의 整數環과 가우스 整數環, 多項式環 을 包括하는 넓은 意味에서 適用될 수 있다.

몇몇 性質들 編輯

위와 같은 少數와 基藥水에 對해, 어떤 1을 가진 可換 圜 ${\displaystyle R}$  위에서 다음 性質들이 成立한다.

• 萬若 ${\displaystyle R}$  이 정역이면, ${\displaystyle R}$  위에서 少數는 모두 基約數이다.(역은 一般的으로 成立하지 않는다)
• 萬若 ${\displaystyle R}$  이 週 아이디얼 程驛 裏面, ${\displaystyle R}$  위에서 少數와 基藥水는 童穉이다. 整數環은 主 아이디얼 정역이므로 整數環 위에서 少數와 基藥水는 같다.
• 萬若 ${\displaystyle R}$  이 체 裏面, ${\displaystyle R}$  에 依해 誘導된 多項式環 ${\displaystyle R[x]}$  은 週 아이디얼 정역이므로, 윗 命題에 依해 ${\displaystyle R[x]}$  위에서 少數와 基藥水는 童穉이다.

• 回文 少數
• 水素 (數學)
• 少數 整理
• 메르텐스 整理 (數論)
• 소 아이디얼
• 코플랜드-에르되시 常數

• 김주필, 『알기 쉬운 代數學』, 圖書出版 大選, 2002
• 김응태, 박승안, 『現代代數學(6/e)』, 경문사, 2006

• 10萬 番째 少數까지 ( 구텐베르크 프로젝트 )
• 네이버 캐스트 - 少數가 뭐길래?
• 少數리스트1,000,000,000,000個-少數 12째자리