1≤p≤∞일 때 任意의 失手 ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$  와 ${\displaystyle y_{1},...,y_{n}}$  에 對해 민코프스키 不等式의 代數的 形態는 다음과 같이 쓸 수 있다. 이는 가장 初等的인 形態이다. ^[1]

• ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}.}$ 

이는 아래의 形態에서 셈側도 空間에 對해 쓴 꼴이다.

1<p<∞일 때 側도 μ價 주어진 側도 空間 X에 對하여 f, g가 X에서 [0, ∞]로 가는 가측 函數 일 때, 側도 μ에 對한 ${\displaystyle L_{p}}$  空間 ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$  에서는 민코프스키 不等式을 다음과 같이 쓸 수 있다. ^{[2] :63}

• ${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}$ 

이 形態 때문에 이 不等式이 민코프스키 三角 不等式 이라 불리는 것이다. 이를 利用하면 ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$  가 複素 벡터 空間 이 된다는 것은 分明하다.

(X, m, μ)와 (Y, n, ν)를 σ-有限 側도 空間 理라 하고 F를 X×Y 위에서 定義된 m×n 가측 函數 라 하자. 그러면 1≤p<∞人 境遇 다음과 같은 積分 形態 민코프스키 不等式이 成立한다. 이 不等式은 '민코프스키 積分不等式'이라고도 한다. ^[3]

• ${\displaystyle \left[\int _{X}\left(\int _{Y}F(x,y)\,d\nu (y)\right)^{p}d\mu (x)\right]^{1/p}\leq \int _{Y}\left(\int _{X}F(x,y)^{p}\,d\mu (x)\right)^{1/p}d\nu (y).}$ 

위에서 p=1人 境遇 이 不等式은 土넬리의 整理 에서 바로 證明된다. 따라서 證明은 1<p에 對해 하면 된다. 이 定理를 證明하기 위해서는 土넬리의 整理와 回더 不等式을 使用해야 하는데, 基本的으로는 앞의 形態들과 類似한 아이디어를 使用한다.

• 三角 不等式
• 回더 不等式
• 하디의 不等式
• 말러의 不等式

• 류한영 外, 《韓國數學올림피아드 바이블 2》, 圖書出版 稅化, 2008
• Walter Rudin (1987), Real and complex analysis , McGraw-Hill, ISBN  0-07-100276-6
• 방현수, 《실解釋 & 函數解析學》, 敎友社, 2002