微積分學
에서
바이어슈트라스 置換
(-置換,
英語
:
Weierstrass substitution
) 또는
탄젠트 半角 置換
(-半角置換,
英語
:
tangent half-angle substitution
) 또는
t-置換
(-置換,
英語
:
t-substitution
)은 半角의
탄젠트
를 새로운 變數로 代身하는
置換 積分
이다.
三角 函數
의
有理 函數
를
積分
하는 데 使用된다.
모든
三角 函數
의
有理 函數
는 어떤 2變數 有理 函數
에 對하여
와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
바이어슈트라스 置換
은 이러한 函數를 積分하는 데 使用되는 다음과 같은 置換 積分 技法이다.
-
이 境遇 다음이 成立한다.
-
따라서
의 積分은 다음과 같은
有理 函數
積分으로 變한다.
[1]
:263-264
[2]
:351
-
모든 有理 函數의 圓函數는
初等 函數
이므로, 모든 三角 函數의 有理 函數의 圓函數 亦是 初等 函數이다.
[1]
:264
다른 方法
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바이어슈트라스 置換은 때로 複雜한 計算을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 境遇에는 보다 더 簡便한 技法이 存在한다.
[1]
:264-265
[2]
:351
- 萬若
라면, 이는 恒常
꼴로 나타낼 수 있으며, 이 境遇
와 같이 置換하는 것이 좋다.
-
- 萬若
라면, 이는
꼴로 나타낼 수 있으며, 이 境遇
와 같이 置換하는 것이 좋다.
-
- 萬若
라면,
꼴이므로, 이 境遇
와 같이 置換하는 것이 좋다.
-
事實 모든 有理 函數는 各各 위와 같은 性質을 만족시키는 세 有理 函數의 合으로 나타낼 수 있다.
-
雙曲線 函數의 境遇
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바이어슈트라스 置換의
雙曲線 函數
버전인
쌍곡 탄젠트 反變數 置換
(雙曲-半變數置換,
英語
:
hyperbolic tangent half-argument substitution
또는
쌍곡 t-置換
(雙曲-置換,
英語
:
hyperbolic t-substitution
)은 雙曲線 函數의 有理 函數
를 積分하는 데 使用되며, 이는 다음과 같다.
[3]
:185, Exercise 13
-
이 境遇 다음이 成立한다.
-
따라서
의 積分은 다음과 같은 琉璃 函數 積分으로 變한다.
[4]
:29
-
따라서 모든 雙曲線 函數의 有理 函數의 圓函數는 初等 函數이다.
다음과 같은 敵분들을 생각하자.
[2]
:352, 例6.3.8, (3), (4)
[1]
:265, 例6.3.4
-
첫째 積分은 바이어슈트라스 置換
을 통해 다음과 같이 求할 수 있다.
-
둘째 積分 亦是 바이어슈트라스 置換
을 통해 다음과 같이 求할 수 있다.
-
셋째 積分은
를 만족시키므로, 바이어슈트라스 置換을 使用할 必要가 없다. 이는 置換
을 통해 다음과 같이 求할 수 있다.
-
雙曲線 函數의 境遇의 예
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다음과 같은 積分을 생각하자.
[4]
:29, 例4
-
이는 쌍곡 탄젠트 反變數 置換
를 통해 다음과 같이 求할 수 있다.
-
같이 보기
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外部 링크
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