各 狀態에 있는 모든 알갱이 數에 對하여 合하여야만 한다. 卽 各 r에 對해서 ${\displaystyle n_{r}=0,1,2,3,\dots }$  인데 固定된 總 알갱이 數에 對해 다음의 制限式을 따라야만 한다.

${\displaystyle \sum _{i}N_{i}=N\,}$ 

그런데 알갱이는 區別할 수 있는 것으로 또한 생각을 한다. 그러므로 다른 狀態에 있는 두 알갱이의 어떤 順列은 비록 數 ${\displaystyle \{n_{1},n_{2},n_{3},\dots \}}$  는 바뀌지 않은 채로 남아 있지만 氣體 全體의 區別되는 狀態로 세어야만 한다. 이것은 各 한-알갱이 狀態에 얼마나 많은 알갱이가 있는가를 明示하는 것이 充分하지 못해서가 아니라, 어느 狀態에 있는 알갱이가 있는가를 明示하는 것이 必要하기 때문에 그렇다.

${\displaystyle Z_{G}^{MB}=\prod _{k=1}^{\infty }\exp(ze^{-\beta \epsilon _{k}})}$ 

여기서 ${\displaystyle z=e^{\beta \mu }}$  이다.

큰 分配함수는 다음과 같이 證明할 수 있다.

${\displaystyle Z_{G}^{MB}=\sum _{n_{k}}{\frac {1}{n_{1}!n_{2}!\cdots }}(e^{-\beta (\epsilon _{1}-\mu )})^{n_{1}}(e^{-\beta (\epsilon _{2}-\mu )})^{n_{2}}\cdots }$ 

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{n_{k}=0}^{\infty }{\frac {1}{n_{k}!}}e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )^{n_{k}}}}$ 

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{n_{k}=0}^{\infty }{\frac {1}{n_{k}!}}(ze^{-\beta \epsilon _{k}})^{n_{k}}}$ 

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }exp(ze^{-\beta \epsilon _{k}})}$ 

맥스웰-볼츠만 統計에 따르면, 狀態 i 에 놓여 있는 粒子의 占有數는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}}$ 

${\displaystyle N_{i}}$  ?: 狀態 i 에 놓인 粒子의 占有수

${\displaystyle \epsilon _{i}}$  ?: 狀態 i 에서의 에너지

${\displaystyle g_{i}}$  ?: 狀態 i 에서의 겹침

μ?: 化學 퍼텐셜

k ?: 볼츠만 常數

T ?: 絶對溫度

N ?: 總 粒子數

${\displaystyle N=\sum _{i}N_{i}\,}$ 

• 보즈-아인슈타인 統計
• 페르미-디랙 統計